Resumo de Matemática - Matrizes e Determinantes

As operações referentes a matrizes e determinantes consistem em números que estão dispostos em linhas chamados de (m) e colunas associados a letra (n).

Cada elemento da matriz é indicado por aij, no qual o “i” indica a posição do elemento referente à linha, e “j”, a posição em relação à sua coluna.

Abaixo, há exemplos de matrizes com a estrutura matemática: m x n.

Abaixo estão listados os elementos que compõem a matriz representada acima. Conheça:

  • aij → linha (i) e coluna (j)
  • a1,1 → linha 1 e coluna 1
  • a1,2 → linha 1 e coluna 2
  • a1,3 → linha 1 e coluna 3
  • a1,n → linha 1 e coluna n 
  • a2,1 → linha 2 e coluna 1
  • a2,2 → linha 2 e coluna 2
  • a2,3 → linha 2 e coluna 3
  • a2,n → linha 2 e coluna n
  • am,1 → linha m e coluna 1
  • am,2 → linha m e coluna 2
  • am,3 → linha m e coluna 3
  • am,n → linha m e coluna n

Diagonais da Matriz

Toda e qualquer matriz, sendo natural da sua própria estrutura, possui uma diagonal principal e uma diagonal secundária.

A diagonal principal é formada pelos elementos em que i = j, como explicado acima. Já a diagonal secundária é constituída por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução.

Aprenda a identificar cada um os tipos de diagonais de uma matriz

–> Diagonal Principal

a1,1 → linha 1 e coluna 1
a2,2 → linha 2 e coluna 2
a3,3 → linha 3 e coluna 3

–> Diagonal Secundária

a1,3 → linha 1 + coluna 3 = 4
a2,2 → linha 2 + coluna 2 = 4
a3,1 → linha 3 + coluna 1 = 4

Conhecendo as matrizes especiais

Algumas matrizes são consideradas especiais pela forma com que seus elementos são constituídos e organizados.

Dentre esses tipos é possível destacar os mais utilizados nas operações com matrizes. São elas: matriz quadrada e matriz identidade.

Matriz quadrada: o número de colunas é igual ao número de linhas. Veja a representação abaixo:

Matriz identidade: todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e todos os outros elementos são equivalentes a zero. Veja:

Matrizes e determinantes: entenda como realizar o cálculo

As operações matemáticas com matrizes são:

Adição

 Sejam A e B duas matrizes em que a sua soma resulta em uma matriz C.

A + B = C

Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um elemento de B. Para efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo:

A + B = C
2 x 3 + B2 x 3 = C2 x 3
 

Observe que as matrizes A e B possuem a mesma quantidade de linhas (m = 2) e a mesma quantidade de colunas (n = 3). A matriz C é resultante da soma de A + B e também deve possuir duas linhas e três colunas.

Subtração 

A partir de duas matrizes A e B, definimos a sua diferença como C:

A matriz diferença pode ser definida como sendo a soma de A com o oposto de B, ou seja, – B. Para realizarmos a subtração entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas.

Multiplicação

Dadas as matrizes Am x n e Bn x p, para que seja possível realizar o seu produto, o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. Esse processo resulta em uma matriz Cm x p. Observe o exemplo abaixo e veja como isso é feito:

Descrição dos elementos da matriz:

a1,1 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.

a1,2 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.

a1,3 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.

a2,1 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.

a2,2 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.

a2,3 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.

Determinante

Calculamos o determinante de matrizes quadradas, isto é, aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas. 

Caso A possua uma linha e uma coluna (A1 X 1), então o determinante será representado pelo único elemento que compõe A. Exemplo:

A = (10)
det A = 10

Se A possuir duas linhas e colunas (A2 x 2), então o determinante (det A2 x 2) será dado pela diferença entre os produtos da diagonal principal da matriz A pelo produto dos elementos que compõem a sua diagonal secundária. 

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