Resumo de Matemática - Geometria Plana

A geometria plana ou euclidiana é a vertente da matemática que estuda as figuras que apresentam comprimento e largura, exceto volume.

Criado pelo professor e matemático Euclides de Alexandria, as definições de ponto, linha, plano e ângulo baseiam-se em cinco postulados.

  • Em dois pontos diferentes apenas um segmento de reta os une;
  • Uma linha reta pode ser prolongado em várias direções;
  • Pode-se construir um círculo com qualquer centro e raio;
  • Todos os ângulos retos são iguais;
  • Duas linhas paralelas nunca vão se encontrar.

Entretanto, o quinto postulado despertou críticas entre os matemáticos. Por isso, em meados do século XIX, surgiram as teorias de que em um ponto fora da reta passam, pelo menos, duas retas, e que em um ponto fora da reta não passa nenhuma outra paralela.

Definições da Geometria Plana

A geometria plana apresenta certas características que nos ajudam a compreender as figuras mais complexas.  

Ponto

O ponto é uma forma geométrica sem definição exata, pois não possui tamanho (área e cumprimento iguais a zero). Eles servem para indicar uma localização e são representados por letras minúsculas.

Reta

As retas são linhas infinitas que não possuem começo, fim ou curvas. Elas podem se apresentar em três condições: horizontal, vertical ou inclinada e são representadas por letras minúsculas do alfabeto latino.

Além disso, duas ou mais retas podem ser retas concorrentes ou retas paralelas.

As concorrentes apresentam um ponto em comum, pois elas se cruzam. Já as paralelas não dispõem de ponto em comum e nunca vão se encontrar.

Semirretas

Retas que possuem ponto de partida, mas tem fim. Ou seja, são linhas com apenas um sentido e direção, porém com origem definida.

Segmentos de retas

Retas divididas em dois pontos. Podem ser classificadas em seguimentos consecutivos (quando apresentam ponto em comum) e colineares (quando dois ou mais pontos diferentes dividem a mesma reta).

Já a terceira divisão, as adjacentes, permitem pontos em comum e a passagem de uma reta exclusiva.  E por último as congruentes, que são segmentos de retas com tamanhos iguais.

Plano

Representado pela letra minúscula do alfabeto grego (alfa ou beta), o plano é a estrutura que pode se prolongar por todas as direções. Essa superfície possui comprimento e largura, sendo propícia para formação das figuras geométricas.

Área (S)

É toda a medida da superfície. Por isso, a depender do tamanho da superfície de uma figura resultará em uma maior área.

Representada nas ilustrações pela letra S, importante ressaltar que o cálculo da área de um determinado objeto é totalmente distinto um dos outros.

Perímetro (P)

Resultado da soma dos comprimentos, ou seja, a soma de todos os lados dos objetos geométricos, sejam regulares ou não.

Ângulos (Â)

Ângulos são a junção de dois segmentos de reta, de acordo com um ponto comum, conhecido como vértice do ângulo. Eles são classificados em três:  reto (Â = 90º), agudo (Â = 0º) e obtuso (Â = 90º).

Outras fórmulas utilizadas pela geometria plana são teoremas de Pitágoras, lei dos senos, lei dos cossenos e relações métricas do triângulo retângulo.

Formas Geométricas Planas

As figuras planas são superfícies fechadas por segmentos de retas (mínimo três segmentos). Como já sabemos, todas as formas geométricas reconhecidas como planas possuem fórmulas matemáticas para o cálculo de sua área e perímetro (superfícies), pois elas não possuem volume.

Além disso, podem ser classificadas em:  polígonos e não polígonos.

Polígonos: são segmentos de reta que possuem determinado número de lados.

Não polígonos: são figuras que podem ser abertas ou fechadas.

Triângulos

Os triângulos são polígonos que dispõem de três lados (a soma dos ângulos internos sempre será 180°). Eles são classificados de acordo com sua quantidade de lados ou pelos ângulos.

Triângulo equilátero: todos os lados e ângulos internos são iguais (60°);

Triângulo isósceles: apenas dois lados e dois ângulos internos são iguais (congruentes);

Triângulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes.

De acordo com os ângulos, eles são definidos como:

Triângulo retângulo: tem ângulo interno igual a 90° (reto);

Triângulo obtusângulo: tem dois ângulos agudos, isto é, menor que 90°;

Triângulo acutângulo: tem três ângulos internos menores que 90°.

Quadrado

Polígono que apresenta quatro lados iguais, o quadrado é um dos tipos de formas geométricas presentes no grupo dos quadriláteros. Possui também quatro ângulos retos ou congruentes (90°).

Losango

Outro tipo de quadrilátero, o losango é formado por quatro lados iguais. As suas diagonais, que são paralelas, formam o ângulo de 90°

Além de quadrilátero, o losango é da casa dos paralelogramos, assim como o quadrado.

Paralelogramos são figuras de quatro lados iguais cujo os lados opostos são paralelos. Em todos eles os lados e ângulos opostos são congruentes, a soma de dois ângulos consecutivos é 180° e as diagonais dividem-se ao meio.

Retângulo

É todo paralelogramo que contêm quatro ângulos retos (90°). Os lados opostos (vertical e horizontal) são paralelos e de mesmo tamanho.

Trapézio

O trapézio também é um quadrilátero, mas possui apenas um par de lados opostos paralelos. Além disso, as soma dos seus ângulos internos chega a 360°. São divididos em:  

Trapézio retângulo: aqueles que possuem dois ângulos de 90°, pois um dos pontos da sua diagonal é perpendicular às bases;

Trapézio isósceles: aqueles cujo os lados não paralelos possuem o mesmo tamanho;

Trapézio escaleno: aqueles que apresentam todos os lados com tamanhos diferentes.

Círculo

O círculo é uma figura plana que abriga todos os pontos de um plano. Seus principais elementos são o raio (r) e centro. O raio, na verdade, é a medida da distância entre o centro do círculo até seu contorno.  

As Figuras Não Planas

Também conhecidos como sólidos geométricos, as formas não planas apresentam comprimento, largura e altura. Assim como as figuras planas, elas também são divididas em duas: poliedros e não poliedros.

Poliedros: são formados apenas por partes planas, que são chamadas de faces. O encontro de duas faces é conhecido como arestas. O ponto de junção entre várias arestas é o vértice do poliedro.

Não Poliedros: também definidos como corpos redondos, os não polígonos possuem bases arredondadas. Os cilindros, esferas e cones são exemplos de não polígonos.

Curiosidades

  • O maior sólido geométrico do mundo é a pirâmide de Quéops, construída no século XXV antes de Cristo. Possui 138 metros e seus lados são em forma de triângulos isósceles.
  • De todas as figuras planas, com mesmo perímetro, o círculo é a que possui maior área.
  • Para saber a quantidade de ângulos, faces ou lados de uma determinada figura geométrica, basta observar sua termologia. Isso acontece por causa dos sufixos Edro (face), Gono (ângulo) e Látero (lado). Ex: hexágono (6 ângulos), decaedro (10 lados) e quadrilátero (4 lados)
  • A cidade de Brasília, projetada por Oscar Niemeyer, está repleta de formas geométricas planas. A construção de Brasília foi uma das maiores obras arquitetônicas do mundo nos anos 50 e anos 60. 

Resumo sobre Geometria Plana

Geometria Plana é o segmento da matemática que estuda as figuras que apresentam comprimento e largura, menos o volume.

Foi criado pelo professor e matemático Euclides de Alexandria e possui algumas características principais, como: ponto, reta, semirretas, segmento de retas, plano, área, perímetro e ângulo.

Suas formas geométricas podem ser representadas por triângulo, quadrado, losango, retângulo, trapézio e círculo.

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