Funções matemáticas é um dos assuntos mais importantes e relevantes para as ciências, principalmente as exatas. Uma função pode ser definida como a relação entre um conjunto A e um conjunto B, denotada pela expressão f: A --> B (lê-se f de A em B).
Na relação entre esses conjuntos, f é o nome da função, A é chamado de domínio, B é denominado contradomínio e y = f(x) expressa a lei de correspondência dos elementos x que pertencem à A e dos elementos y que pertencem à B.
Conforme as suas características, as funções matemáticas podem ser agrupadas em várias categorias, as principais são: função trigonométrica, função afim, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, entre outras.
Observe a relação abaixo, onde todos os elementos do conjunto A estão associados a um único elemento do conjunto B.
Agora note o exemplo abaixo que não representa uma função, pois o elemento 1 do conjunto A não está associado a nenhum elemento do conjunto B.
Com base nos exemplos anteriores podemos concluir que somente será considerada um função se todos os elementos do conjunto A estiverem associados a algum elemento do conjunto B.
Domínio, imagem e contradomínio
O domínio (D) de uma função é sempre o próprio conjunto de partida ou de forma simplificada “de onde partem as flechas”. Já a imagem (Im) são todos os elementos atingidos pelas flechas de relacionamento.
O conjunto de chegada, ou seja, os elementos que as flechas podem acertar é chamado de contradomínio (Cd). Esse nome foi adotado pelo fato de que nem todos os elementos do conjunto B precisam ser utilizados para que a função tenha validade.
Sabendo disso, já podemos identificar os conjuntos que compõem a função do primeiro exemplo.
D = {1,2,3,4) | Im = {5,6,7,8} | Cd = { 5,6,7,8,9,10}
Aplicação
Dada a função f: IR à IR, onde o domínio e a contradomínio são os números reais, tal função é definida por f(x)=x² – 5x + 6. Vamos calcular f(2), f(3) e f(0) e o valor de x com imagem 2.
f(2)= 2²-5(2)+6 = 4-10+6 = 0
f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0
f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6
Para calcular a imagem é necessário encontrar as raízes da função por meio do delta.
∆=b²-4ac
∆=(-5)²-4.1.6
∆=25-24
∆=1
Yv=-∆/4a
Yv=-1/4.1
Yv=-1/4
Propriedades das funções matemáticas
Função sobrejetora ou sobrejetiva
Se adequa a esse caso a função em que todos os elementos do domínio possuem um elemento na imagem, ou seja, a imagem é igual ao contradomínio.
Função injetora ou injetiva
Nesse tipo de função cada elemento do domínio está associado a um único elemento da imagem. Deste modo, dois elementos não podem ter a mesma imagem.
Função bijetora ou bijetiva
Quando injetora e sobrejetora ao mesmo tempo a função é considerada bijetora. Nessa função, dois números distintos não podem possuir a mesma imagem, bem como o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.
Gráfico da função
As funções matemáticas podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos as coordenadas x e y dentro de um espaço bidimensional chamado de plano cartesiano. A coordenada x é denominada de abscissa e a y de ordenada.
Para construir o gráfico de uma função f é necessário atribuir valores do domínio à x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os valores correspondentes a y.
Aplicação
Vamos construir o gráfico da função y = x + 1 e o primeiro passo será montar uma tabela com os valores de x para encontrar os valores de y:
| y = x + 1 | ||
| x | y | (x, y) |
| 0 = x + 1 –> x = -1 | 0 | (-1, 0) |
| 0 | y = 0 + 1 –> y =1 | (0, 1) |
| 1 | y = 1 + 1 –> y =2 | (1, 2) |
| 2 | y = 2 + 1 –> y =3 | (2, 3) |
| 3 | y = 3 + 1 –> y =4 | (3, 4) |
O segundo passo é lançar cada um desses pares ordenados no plano cartesiano:
Por fim, no terceiro passo, basta ligar os pontos através de uma reta para determinar o gráfico da função:
Tipos de funções matemáticas
Existem vários tipos de funções matemáticas. Até o final do ensino médio estudamos cerca de 13 funções, são elas:
- Função constante;
- Função par;
- Função ímpar;
- Função afim ou função de primeiro grau;
- Função linear;
- Função crescente;
- Função decrescente;
- Função quadrática ou função de segundo grau;
- Função modular;
- Função exponencial;
- Função logarítmica;
- Funções trigonométricas;
- Função raiz.