Resumo de Matemática - Funções Matemáticas

Funções matemáticas é um dos assuntos mais importantes e relevantes para as ciências, principalmente as exatas. Uma função pode ser definida como a relação entre um conjunto A e um conjunto B, denotada pela expressão f: A --> B (lê-se f de A em B).

Na relação entre esses conjuntos, f é o nome da função, A é chamado de domínio, B é denominado contradomínio e y = f(x) expressa a lei de correspondência dos elementos x que pertencem à A e dos elementos y que pertencem à B.

Conforme as suas características, as funções matemáticas podem ser agrupadas em várias categorias, as principais são: função trigonométrica, função afim, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, entre outras.

Observe a relação abaixo, onde todos os elementos do conjunto A estão associados a um único elemento do conjunto B.

Agora note o exemplo abaixo que não representa uma função, pois o elemento 1 do conjunto A não está associado a nenhum elemento do conjunto B.

Com base nos exemplos anteriores podemos concluir que somente será considerada um função se todos os elementos do conjunto A estiverem associados a algum elemento do conjunto B.

Domínio, imagem e contradomínio

O domínio (D) de uma função é sempre o próprio conjunto de partida ou de forma simplificada “de onde partem as flechas”. Já a imagem (Im) são todos os elementos atingidos pelas flechas de relacionamento.

O conjunto de chegada, ou seja, os elementos que as flechas podem acertar é chamado de contradomínio (Cd). Esse nome foi adotado pelo fato de que nem todos os elementos do conjunto B precisam ser utilizados para que a função tenha validade.

Sabendo disso, já podemos identificar os conjuntos que compõem a função do primeiro exemplo.

D = {1,2,3,4) | Im = {5,6,7,8} | Cd = { 5,6,7,8,9,10}

Aplicação

Dada a função f: IR à IR, onde o domínio e a contradomínio são os números reais, tal função é definida por f(x)=x² – 5x + 6. Vamos calcular f(2), f(3) e f(0) e o valor de x com imagem 2.

f(2)= 2²-5(2)+6 = 4-10+6 = 0

f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0

f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

Para calcular a imagem é necessário encontrar as raízes da função por meio do delta.

∆=b²-4ac

∆=(-5)²-4.1.6

∆=25-24

∆=1

Yv=-∆/4a

Yv=-1/4.1

Yv=-1/4

Propriedades das funções matemáticas

Função sobrejetora ou sobrejetiva

Se adequa a esse caso a função em que todos os elementos do domínio possuem um elemento na imagem, ou seja, a imagem é igual ao contradomínio.

Função injetora ou injetiva

Nesse tipo de função cada elemento do domínio está associado a um único elemento da imagem. Deste modo, dois elementos não podem ter a mesma imagem.

Função bijetora ou bijetiva

Quando injetora e sobrejetora ao mesmo tempo a função é considerada bijetora. Nessa função, dois números distintos não podem possuir a mesma imagem, bem como o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.

Gráfico da função

As funções matemáticas podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos as coordenadas x e y dentro de um espaço bidimensional chamado de plano cartesiano. A coordenada x é denominada de abscissa e a y de ordenada.

Para construir o gráfico de uma função f é necessário atribuir valores do domínio à x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os valores correspondentes a y.

Aplicação

Vamos construir o gráfico da função y = x + 1 e o primeiro passo será montar uma tabela com os valores de x para encontrar os valores de y:

y = x + 1
x y (x, y) 
0 = x + 1 –> x = -1 0  (-1, 0)
0 y = 0 + 1 –> y =1 (0, 1)
1 y = 1 + 1 –> y =2 (1, 2)
2 y = 2 + 1 –> y =3 (2, 3)
3 y = 3 + 1 –> y =4 (3, 4)

O segundo passo é lançar cada um desses pares ordenados no plano cartesiano:

Por fim, no terceiro passo, basta ligar os pontos através de uma reta para determinar o gráfico da função:

Tipos de funções matemáticas

Existem vários tipos de funções matemáticas. Até o final do ensino médio estudamos cerca de 13 funções, são elas:

  • Função constante;
  • Função par;
  • Função ímpar;
  • Função afim ou função de primeiro grau;
  • Função linear;
  • Função crescente;
  • Função decrescente;
  • Função quadrática ou função de segundo grau;
  • Função modular;
  • Função exponencial;
  • Função logarítmica;
  • Funções trigonométricas;
  • Função raiz.
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