Resumo de Matemática - Função exponencial

A função exponencial indica uma relação de dependência em que existe uma variável no expoente e o número real (maior que 0 e diferente de 1) na base. Tal descrição é explicitada na seguinte notação:  f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Na matemática, uma função é caracterizada pela relação em que uma incógnita depende do valor da outra.Contudo, o que diferencia uma função comum de uma exponencial é que, na exponencial, a incógnita está no expoente.

Não entendeu? Confira abaixo alguns exemplos de funções exponenciais:

y = 3x

y = 2x + 4

y = 0,8x

y = 8x

Nos exemplos anteriores, os números 3, 2, 0,8 e 8 correspondem às bases, enquanto o x é o expoente.

A função exponencial, de certo modo, pode ser caracterizada como uma extensão da operação de potenciação para expoentes não inteiros. Quando x é um número natural maior do que 1, a potência aindica a multiplicação da base a por ela mesma quantas vezes x indicar.

Na potenciação 5² indica que 5 x 5 = 25. Deste modo, a expressão 5² equivale a 25.

Propriedades da função exponencial

A função exponencial possui algumas propriedades, resultantes das potências e outras características que podem auxiliar na realização de vários cálculos, por exemplo: capitalização por juros compostos, decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias em uma colônia, etc.

Existem cinco propriedades. Confira o que dizem:

1ª propriedade: se x = 0, logo f(x) = 1

Essa é uma característica da potência e diz que todo número elevado a 0 é igual a 1. Observe o exemplo da função f(x) = 3x , em que x = 0:

f(x) = 3x

f(0) = 30

f(0) = 1

2ª propriedade: se a > 1, a função será crescente

A função será crescente na condição de que ax1 < ax2 e, sempre, que a >1, independentemente do valor de x. Observe o exemplo da função f(x) = 2x, em que a = 2 e os expoentes assumem o valor de x1 = 1 e x2 = 2:

ax1 < ax2

21 < 22

2 < 4

3ª propriedade: se 0 < a < 1, a função será decrescente

Essa propriedade assemelha-se à anterior, contudo X1 < X2 , e que 0 < a < 1, como consequência há ax1 > ax2. Observe o exemplo da função f(x) = = 0,5x, em que a = 0,5 e os expoentes assumem o valor de x1 = 1 e x2 = 2:

x1 < x2

ax1 > ax2

0,51 > 0,52

0,5 > 0,25

4ª propriedade: sempre que ax1 = ax2, então x1 = x2

Sempre que existir um sinal de igual entre as potências, inevitavelmente os expoentes possuem o mesmo resultado. Observe o exemplo da função f(x) = 7x, em que f(x1) = 49 e f(x2) = 49:

f(x1) = f(x2)

ax1 = ax2

7x1 = 7x2

De acordo com essa propriedade, o resultado das duas potências é igual a 49, então, x1 e x2  correspondem a 2.

x1 = x2 = 2

Gráfico da função exponencial

Na função exponencial a base sempre é maior que zero. Deste modo, a imagem na função será positiva e não terá pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa) do plano cartesiano.

Para representar uma função em forma de gráfico, basta atribuir alguns valores para x e montar uma tabela com os respectivos valores de f(x), identificando os pontos no plano cartesiano e em seguida traçar a curva do gráfico.

Essa relação expressa a 5ª propriedade da função exponencial, que diz que o gráfico da função exponencial sempre estará acima do eixo x.

Quando a função é decrescente, os valores de y no plano cartesiano aproximam-se de zero na medida que o valor de x aumenta. Já na função crescente, se x aumenta y também aumenta.

Observe abaixo os gráficos das funções crescente e decrescente:

Aplicação

Observe o gráfico f(x) = 2x (azul) e g(x) = 2 – x (vermelho).

As seguintes observações podem ser feitas:

  • Os gráficos passam pelo ponto (0,1);
  • Seja quais forem os valores de x os valores de f(x) serão positivos;
  • O gráfico de f(x) = 2x é crescente, pois a > 1, já o gráfico de g(x) = 2 – x apresenta um aspecto de uma função decrescente, já que 0 < a < 1;
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