Resumo de Matemática - Cossecante

A cossecante de um ângulo – união de dois segmentos de reta através de um ponto em comum e dos graus de abertura – é dada pela divisão entre a hipotenusa e seu cateto oposto. Ou seja:

 

Por definição, a cossecante pode ser encontrada pelo inverso do seno desse mesmo ângulo. Desta forma:

 

Por meio dos estudos sobre relações trigonométricas tornou-se possível calcular a cossecante de um determinado ângulo. Essas relações são baseadas nos conceitos do triângulo retângulo – tipo de triângulo que possui um ângulo reto (90°) e dois outros ângulos agudos (menores que 90°).

Vale lembrar que os lados de um triângulo retângulo são conhecidos como hipotenusa e catetos (oposto ou adjacente).

Já sabemos que a cossecante é o inverso do seno. Como o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, logo é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto.

Vamos entender no exemplo:

 

O mesmo cálculo através do seno:

 

Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas são fundamentais para o estudo dos triângulos e suas características. Elas podem ser encontradas através da razão entre dois lados de um triângulo retângulo ou pela razão entre os pontos de um círculo trigonométrico.

Em cada círculo trigonométrico um número está diretamente ligado a um ponto da circunferência.

Funções Trigonométricas: cossecante

A função cossecante é a relação que liga cada número real x, no qual a cossecante de x ( onde x ≠ Kπ) será:

 

Nos momentos em que x são valores próximos a 0, π (3,014) ou 2π, o sen (x) se aproxima de zero e a razão 1/ sen (x) tende ao infinito. 

 

Além disso, a função cossecante tem as seguintes propriedades:

Domínio: quando a função seno for igual a zero, o domínio da cossecante será: Dom (csc) = {x em R: x diferente de kπ}.

Imagem: para todo o x real da cossecante, a imagem será R:] -1,1 [, isto é, cossec (x) ≤ -1 ou cossec (x) ≥ 1.

Período: a função cossecante tem o período de 2π.

Simetria: a função cossecante é ímpar, pois o csc (x) = – csc (- x)

Sinal: a cossecante sempre estará presente no eixo y (ordenadas). Por esse motivo, a função será positiva no 1º e 2º quadrante e negativa no 3º e 4º quadrante.

Limite: a função cossecante é ilimitada, pois no momento em que o ângulo se aproxima de kπ, a função pode crescer ou decrescer.

Ângulos Notáveis

Alguns ângulos são classificados como notáveis por causa da frequência em que são usados nas fórmulas e pela facilidade em calculá-los. Os ângulos de 30°, 45° e 60° são os mais utilizados.

Por isso, vamos conhecer os valores do seno, cosseno e tangente desses principais ângulos notáveis.

 

Para chegar a esses valores da tabela precisa-se calcular a razão entre a hipotenusa e os catetos. No seno de 30°, por exemplo, calcula-se a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Já para o cosseno, basta calcular a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. A mesma lógica de cálculo serve para o ângulo de 60°.

Quando os dois ângulos são complementares, como no caso de 30° e 60°, o seno de um será igual ao cosseno do outro.

Vejamos no exemplo:

 

A altura (h) do triângulo equilátero da figura acaba separando o lado em dois. Com isso, temos:

 

Para encontrar o valor do seno e do cosseno do ângulo de 45°, vamos usar o triângulo retângulo a partir do quadrado abaixo:

 

Como a diagonal do quadrado mede L , temos os cálculos:

 

Os cálculos para encontrar as tangentes de 30°, 45° e 60° são:

 

Cossecante dos Ângulos Notáveis

Já que a cossecante é o inverso do seno, vamos inverter os valores dos senos da tabela acima:

 

Assim temos:

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